Dev 일기장

Prim(프림) 알고리즘

그래프의 모든 정점을 최소 비용으로 연결하는, 즉, 최소 신장 트리를 구현하는 대표적인 Greedy(탐욕) 알고리즘이다.

Greedy 알고리즘

• 그 순간에 가장 좋다고 생각되는 해를 선택
  • MST에 포함된 정점들과 그렇지 않은 정점들을 잇는 간선중 가장 가중치가 작은 간선을 선택하여 MST에 추가
• 그 순간에는 최적의 해일 수 있지만, 전체적으로 봤을때는 그렇지 않을 수 있으므로 반드시 검증을 해야함
  • 정점이 이미 선택되어 MST에 포함되어 있는지 검증
• Kruskal(크루스칼) 알고리즘의 경우는 간선을 선택하는 Greedy 알고리즘이다.

동작방식

1. 임의의 정점을 출발 정점으로 선택
2. 매 단계에서 이전단계에 MST에 포함된 정점들과 포함되지 않은 정점들을 잇는 간선 중 가중치가 가장 작은 간선을 선택하여 MST를 확장한다.
3. 간선개수가 \(N-1\)이 될 때까지 반복(\(N\): 정잠개수)

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임의의 정점 a를 선택한다.

MST에 포함된 정점들(a)과 그렇지 않은 정점들을 잇는 간선들 중에 가중치가 가장 작은 간선 (a,b)를 MST에 추가 

MST에 포함된 정점들(a,b)과 그렇지 않은 정점들을 잇는 간선 중 가중치가 가장 작은 간선((a,h))를 MST에 추가

MST에 포함된 정점들(a,b,h)과 그렇지 않은 정점들을 잇는 간선 중 가중치가 가장 작은 간선((h,g))를 MST에 추가

MST에 포함된 정점들(a,b,h,g)과 그렇지 않은 정점들을 잇는 간선 중 가중치가 가장 작은 간선((g,f))를 MST에 추가

MST에 포함된 정점들(a,b,h,g,f)과 그렇지 않은 정점들을 잇는 간선 중 가중치가 가장 작은 간선((c,f))를 MST에 추가

MST에 포함된 정점들(a,b,h,g,f,c)과 그렇지 않은 정점들을 잇는 간선 중 가중치가 가장 작은 간선((c,i))를 MST에 추가

MST에 포함된 정점들(a,b,h,g,f,c,i)과 그렇지 않은 정점들을 잇는 간선 중 가중치가 가장 작은 간선((d,e))를 MST에 추가

모든 정점들이 MST에 포함되어 있고 간선의 개수가 정점 개수 - 1 이므로 끝

시간 복잡도

간선의 가중치가 최소인 간선 탐색: \(O(n)\)

MST에 포함된 정점과 그렇지 않은 정점들 사이의 거리 갱신: \(O(n)\)

이것을 정점의 수 만큼 반복하므로 \((O(n) + O(n)) * (n-1) = O(n^2)\)

그러나 우선순위 큐(Priority Queue)를 사용하는 경우에는 \(O(nlgn)\)이다.

코드

class MSTPrim {
  int[][] graph;
  
  public MSTPrim() {
    this.graph = {
      {0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 0},
      {4, 0, 8, 0, 0, 0, 0, 11, 0},
      {0, 8, 0, 7, 0, 4, 0, 0, 7},
      {0, 0, 7, 0, 9, 14, 0, 0, 0},
      {0, 0, 0, 9, 10, 0, 0, 0, 0},
      {0, 0, 4, 14, 10, 0, 2, 0, 0},
      {0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 1, 7},
      {8, 11, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 7},
      {0, 0, 2, 0, 0, 0, 6, 7, 0},
    };
  }
  
  public int prim(startVertex) {
    int vertexCount = graph.length;
    int[] distance = new int[vertexCount];
    boolean[] visit = new boolean[vertexCount];
    Arrays.fill(distance, Integer.MAX_VALUE);
    
    int result = 0;
    distance[startVertex] = 0;
    
    for(int i = 0; i < vertexCount; i++) {
      int minDistanceFromMst = Integer.MAX_VALUE;
      int targetVertex = -1;
      for(int j = 0; j < vertexCount; j++) {
        if(!visit[j] && distance[j] < minDistanceFromMst) {
          minDistanceFromMst = distance[j];
          targetVertex = j;
        }
      }
      
      visit[targetVertex] = true;
      result += minDistanceFromMst;
      
      for(int j = 0; j < vertexCount; j++) {
        if(!visit[j] && graph[targetVertex][j] > 0 && graph[targetVertex][j] < distance[j]) {
          distance[j] = graph[targetVertex][j];
        }
      }
    }
    
    return result; 
  }
  
  public int prim_using_priority_queue(startVertex) {
    int vertexCount = graph.length;
    boolean[] visit = new boolean[vertexCount];
    // int[] -> {destination, weight}
    PriorityQueue<int[]> queue = new PriorityQueue<>(Comparator.comparingInt(x -> x[1]);
    
    queue.add(new int[]{startVertex, 0})
    int result = 0;
    
    while(!queue.isEmpty()) {
      int[] current = queue.poll();
      int destination = current[0];
      int weight = current[1];
      if(visit[destination]) {
        continue;
      }
      
      visit[destination] = true;
      result += weight;
      
      for(int i = 0; i < vertexCount; i++) {
        if(!visit[i] && graph[destination][i] > 0) {
          queue.add(new int[]{i, graph[destination][i]};
        }
      }
    }
    
    return result; 
  }
}

같이 볼 자료

2022.01.16 - [Algorithm] - [Algorithm] MST (Minimum Spanning Tree, 최소 신장 트리)

2022.01.16 - [Algorithm] - [Algorithm] Krsukal (크루스칼) 알고리즘

신장 트리 (Spanning Tree)

• 그래프의 모든 정점을 연결하는 트리
• 트리: 일반적으로 계층구조의 자료구조를 생각하는데, 그래프 이론에서 사이클이 없는 무방향 그래프를 트리라고 한다.
• 그래프가 n개의 정점을 가질 때, 그래프의 최소 간선의 수는 n-1개이다.
• 하나의 그래프에서 여러개의 신장 트리가 존재할 수 있다.

최소 신장 트리 (Minimum Spanning Tree)

• Spanning Tree 중에서 사용된 간선들의 가중치 합이 최소인 트리
• Spanning Tree와 마찬가지로 정점이 N개일 때, N-1개의 간선으로 연결된다.
• Spanning Tree와 마찬가지로 사이클이 없다.
• Spanning Tree와 마찬가지로 MST의 해가 여러개 일 수 있다.

MST을 구현하는 알고리즘으로 Kruskal(크루스칼) 알고리즘과 Prim(프림) 알고리즘이 있다.

2022.01.16 - [Algorithm] - [Algorithm] Krsukal (크루스칼) 알고리즘

2022.01.16 - [Algorithm] - [Algorithm] Prim(프림) 알고리즘

1. 문제

https://www.acmicpc.net/problem/16398

문제 설명

홍익 제국의 중심은 행성 T이다. 제국의 황제 윤석이는 행성 T에서 제국을 효과적으로 통치하기 위해서, N개의 행성 간에 플로우를 설치하려고 한다.

두 행성 간에 플로우를 설치하면 제국의 함선과 무역선들은 한 행성에서 다른 행성으로 무시할 수 있을 만큼 짧은 시간만에 이동할 수 있다. 하지만, 치안을 유지하기 위해서 플로우 내에 제국군을 주둔시켜야 한다.

모든 행성 간에 플로우를 설치하고 플로우 내에 제국군을 주둔하면, 제국의 제정이 악화되기 때문에 황제 윤석이는 제국의 모든 행성을 연결하면서 플로우 관리 비용을 최소한으로 하려 한다.

N개의 행성은 정수 1,…,N으로 표시하고, 행성 i와 행성 j사이의 플로우 관리비용은 Cij이며, i = j인 경우 항상 0이다.

제국의 참모인 당신은 제국의 황제 윤석이를 도와 제국 내 모든 행성을 연결하고, 그 유지비용을 최소화하자. 이때 플로우의 설치비용은 무시하기로 한다.

제한 사항

입력

입력으로 첫 줄에 행성의 수 N (1 ≤ N ≤ 1000)이 주어진다.

두 번째 줄부터 N+1줄까지 각 행성간의 플로우 관리 비용이 N x N 행렬 (Cij), (1 ≤ i, j ≤ N, 1 ≤ Cij ≤ 100,000,000, Cij = Cji) 로 주어진다.

출력

모든 행성을 연결했을 때, 최소 플로우의 관리비용을 출력한다.

입출력 예

2. 어떻게 풀까?

• 최소 신장 트리이므로 Kruskal 알고리즘 혹은 Prim 알고리즘으로 해결한다.

3. 코드

Kruskal 알고리즘

import java.io.*;
import java.util.*;

 class Main {

  private static final BufferedReader READER = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
  private static final BufferedWriter WRITER = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
  private static StringTokenizer tokenizer;
  private static int[] parents;

  public static void main(String[] args) throws IOException {
    tokenizer = new StringTokenizer(READER.readLine());
    int vertexCount = Integer.parseInt(tokenizer.nextToken());

    kruskal(vertexCount);

    WRITER.flush();
    WRITER.close();
    READER.close();
  }

  private static void kruskal(int vertexCount) throws IOException {
    List<int[]> edges = new ArrayList<>();
    for (int i = 1; i <= vertexCount; i++) {
      tokenizer = new StringTokenizer(READER.readLine());
      for (int j = 1; j <= vertexCount; j++) {
        int weight = Integer.parseInt(tokenizer.nextToken());
        if (weight != 0) {
          edges.add(new int[]{i, j, weight});
        }
      }
    }

    edges.sort(Comparator.comparingInt(o -> o[2]));

    parents = new int[vertexCount + 1];
    for (int i = 1; i <= vertexCount; i++) {
      parents[i] = i;
    }

    long sumWeight = 0;
    for (int i = 0; i < edges.size(); i++) {
      int[] current = edges.get(i);
      int from = current[0];
      int to = current[1];
      int weight = current[2];
      if (find(from) != find(to)) {
        union(from, to);
        sumWeight += weight;
      }
    }

    WRITER.write(sumWeight + "");
  }

  private static void union(int from, int to) {
    from = find(from);
    to = find(to);

    if (from > to) {
      parents[to] = from;
    } else {
      parents[from] = to;
    }
  }

  private static int find(int x) {
    if (parents[x] == x) {
      return x;
    }
    return parents[x] = find(parents[x]);
  }
}

Prim 알고리즘

import java.io.*;
import java.util.*;

 class Main {

  private static final BufferedReader READER = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
  private static final BufferedWriter WRITER = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
  private static StringTokenizer tokenizer;

  public static void main(String[] args) throws IOException {
    tokenizer = new StringTokenizer(READER.readLine());
    int vertexCount = Integer.parseInt(tokenizer.nextToken());

    prim(vertexCount);

    WRITER.flush();
    WRITER.close();
    READER.close();
  }

  private static void prim(int vertexCount) throws IOException {
    int[][] adjMatrix = new int[vertexCount + 1][vertexCount + 1];
    for (int i = 1; i <= vertexCount; i++) {
      tokenizer = new StringTokenizer(READER.readLine());
      for (int j = 1; j <= vertexCount; j++) {
        adjMatrix[i][j] = Integer.parseInt(tokenizer.nextToken());
      }
    }

    PriorityQueue<int[]> queue = new PriorityQueue<>(Comparator.comparingInt(o -> o[1]));
    boolean[] visit = new boolean[vertexCount + 1];
    queue.add(new int[]{1, 0});

    long sumWeight = 0;
    while (!queue.isEmpty()) {
      int[] current = queue.poll();
      int to = current[0];
      int weight = current[1];

      if (visit[to]) {
        continue;
      }
      visit[to] = true;
      sumWeight += weight;

      for (int i = 1; i <= vertexCount; i++) {
        if (adjMatrix[to][i] != 0) {
          queue.add(new int[]{i, adjMatrix[to][i]});
        }
      }
    }

    WRITER.write(sumWeight + "");
  }
}

4. 느낀 점

• 최소 신장 트리의 Prim, Kruskal 알고리즘을 안다면 쉽게 풀 수 있는 문제